Баамонтес родился в Санто-Доминго-Каудилья (Толедо).
Известен как горный специалист по прозвищу Орёл из Толедо, выиграл Тур де Франс в 1959 и становился шестикратным «горным королем» (1954, 1958, 1959, 1962, 1963, 1964). Он также взял два подиума Тура, заняв второе место в 1963 и третье в 1964. За свою карьеру Баамонтес выиграл семь этапов «Большой Петли».
Он занял второе место на Вуэльте 1957, и стал триумфатором в зачёте лучшего горного гонщика в 1958, когда он финишировал на 6 месте в генеральной классификации. Помимо этого, он становился «горным королем» Джиро д’Италия на Джиро 1956.
Изначально Баамонтес не считался фаворитом Тур де Франс 1959, но стал таковым после раннего отрыва на пиренейском этапе, и последующей победы на горной разделке до Puy-de-Dôme. В Альпах он объединил усилия с горняком Шарли Голем, чтобы увеличить разрыв в Гренобле, и кроме того французские гонщики Анри Англад и Жак Анкетиль сократили свое отставание, не отыграв достаточно времени, чтобы угрожать лидерству Баамонтеса в общем зачете. Он привез 4 минуты Англаду, а также забрал гороховую майку.
В 1963 и 1964 Анкетиль взял реванш, оставив Баамонтеса вторым на Туре 1963. Баамонтес и Анкетиль были в хорошей форме в Альпах и на одном из этапов заняли первое и второе места; разрыв между ними составил всего 3 секунды. Тем не менее, попытки испанца отыграть лидерство в горах не принесли желаемого результата. Ему не удалось оторваться от Анкетиля на этапе до Шамони, и победа Анкетиля в разделке открыла ему путь к своей четвертой желтой майке, отставание Баамонтеса составило 3:35. Годом позже Анкетиль стал чемпионом Тур де Франс еще раз. Баамонтес проиграл 4:44, заняв третье место; Раймонд Полидор стал вторым. По крайней мере, Баамонтес был удовлетворен своей шестой победой в горном зачете и еще двумя победами на этапах «Большой Петли» (доведя их общее число до семи).
О нем упоминается во французском фильме Le Fabuleux Déstin d’Amélie Poulain, известном на русском как Амели. Амели находит коробку с игрушками, оставленную владельцем ее квартиры. Она возвращает их владельцу — теперь уже человеку среднего возраста — и он вспоминает о своем детстве, часть которого относится к наблюдению за продвижением Баамонтеса к его победе на Тур де Франс 1959.
